OpenAI AI解决千禧年难题纳维-斯托克斯存在性问题
我们正在分享纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题的解决方案，这是千禧年大奖难题之一。这一证明由OpenAI内部系统生成，表明纳维-斯托克斯方程描述的流体运动动力学可在有限时间内发展出奇点。我们同时分享证明的书面说明及Lean形式化验证。
千禧年大奖难题代表了数学前沿最深奥的问题之一。光滑三维流体运动是否会破裂的问题已悬而未决约90年。
我们工作的主要目标之一是赋能科学家推进惠及全人类的研究与技术。为解决纳维-斯托克斯问题，我们使用了一个能力显著强于GPT-6 Astra的内部模型。我们认为向世界通报AI进展的步伐及未来模型的预期表现至关重要。
问题
纳维-斯托克斯方程运用牛顿第二运动定律（“F=ma”）描述流体运动。重要的是，它将流体视为连续介质，而非追踪单个分子。这些方程用于飞行器设计、天气预报和血流研究。
这些动力学方程的一个基本开放问题是流体的连续介质近似是否会失效。具体而言，三维不可压缩常密度流体的纳维-斯托克斯方程是否会在运动平滑起始时发展出“奇点”？此处，奇点指动力学导致流体速度在有限时间内无界增长。奇点的发展必须在存在黏性（倾向于平滑运动）的情况下发生。由于真实流体不可能无限快运动，这将标志着方程对流体建模的失效。要继续建模该系统，则需要逐一追踪每个粒子的行为。
这些方程可追溯至十九世纪克劳德-路易·纳维和乔治·加布里埃尔·斯托克斯的工作。1934年，让·勒雷证明了广义意义下解的存在性，但解是否始终保持光滑成为核心未解问题。2000年，克莱数学研究所将纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题列为七个千禧年大奖难题之一。
结果
我们的系统生成了一个分析证明及Lean形式化验证，表明初始静止的光滑流体可在有限时间内发展出奇点。流体受到光滑外力作用，其能量在从静止到奇点形成的整个动力学过程中保持有限。这通过确立官方千禧年问题表述中的陈述“C”（及“D”），解决了纳维-斯托克斯千禧年难题。
该解是一个涡旋——旋转的流体漩涡——向内螺旋并逐渐拉长，形似意大利面。中心区域收缩的同时加速，其能量仍保持有限，符合物理定律要求。技术挑战在于方程需通过流体自身运动发展出破裂，而非例如我们手动施加无限力。更数学化地说，纳维-斯托克斯方程中描述运动的各项——加速度、压力梯度、动量传递、黏性——必须同时变大并以精确方式相互抵消。这种精细平衡在流体速度无界增长的同时仍保持平滑的外力。
局部不可压缩运动的快照。橙色表示更快的角旋转；青色表示较慢的旋转。环流速度也取决于半径。轨迹显示向内螺旋和轴向拉伸。
我们如何找到证明
自8月28日起，我们一直在训练一个新的内部模型，该模型在我们的基准测试（包括数学）中展现出前所未有的表现。该模型的训练仍在进行中，其性能持续提升。
9月1日（星期二），我们听闻两个千禧年难题已被解决的传言。受这些传言及内部模型性能阶跃式提升的启发，我们启动了一项工作，在所有未解决的千禧年难题及其他几个高影响力问题上评估该模型。
我们使用由内部模型驱动的协调代理系统。代理可访问工具，如读取互联网缓存版本及运行代码。代理被分为若干组，组内可通信。各组规模不同，产生纳维-斯托克斯解决方案的小组涉及约10,000个并发代理。我们始终维持对所有前沿模型评估所采用的严格安全措施，包括监控和隔离。
对于每个问题，我们向不同代理组提示不同变体的问题陈述，覆盖所有问题变体。对于纳维-斯托克斯问题，我们向不同代理组建议了版本“A”和“B”（纳维-斯托克斯问题的特定形式，将导致证明）以及版本“C”和“D”（将导致反证）。
除完整的千禧年难题外，我们要求多代理系统尝试一组“较简单”的问题。其中一个问题是纳维-斯托克斯问题在去除黏性项后的类似爆破问题，即欧拉方程的正则性问题。我们的代理出乎意料地解决了这一问题。他们解决的具体变体是无外力版本，即流体不受外力作用。近100个代理协同工作约50小时，产生了我们的欧拉正则性反证。¹
一旦看到欧拉解，我们认为纳维-斯托克斯是最有前景的问题。因此，我们决定将资源集中于纳维-斯托克斯。为此，我们将代理从其他千禧年难题转移，并提示这些代理参考欧拉解。当我们的内部模型在过程中推出进一步训练的版本时，我们将代理更新至该模型。
我们鼓励不同代理组探索多样化方法。一段时间后，我们使用Codex整合各代理组最有用的见解，进行跨组交叉融合。这些后续提示基于代理自身的中间结果。找到纳维-斯托克斯解的小组正是在此引导下取得突破。
代理于9月5日（星期六）得出解决方案，距首批代理启动约88小时。Lean形式化验证额外耗时17小时，由GPT-6 Astra完成。
在所有尝试的问题中，代理发送了490万条消息，使用了约3000亿输出令牌。在解决纳维-斯托克斯问题的过程中，代理发送了270万条消息，使用了约1300亿输出令牌。
并行工作
我们的工作于9月1日开始，此前听到一个传言，后来意识到与Anthropic员工Levent Alpöge及NYU数学教授Tristan Buckmaster相关。在我们完成全部项目和Lean验证（9月6日）后，基于传言认为他们也有纳维-斯托克斯解，我们联系他们提议并行发布结果，并在联合公告中承认其优先权。当时我们发现他们解决的是受迫欧拉问题。在这些讨论中，我们向他们提供了我们使用的所有提示的可见性，并随后展示证明。我们承认他们在受迫欧拉问题上的优先权，并祝贺他们取得的卓越数学成就。
我们（研究人员和代理）在他们公开发布前未以任何方式看到他们的工作——特别是，未访问任何特定用户数据来解决此问题。虽然可能性不大，但我们不能排除源自他们使用我们产品的去标识化数据有助于改进我们的模型。然而，我们的证明存在显著差异，甚至在欧拉情形下证明的具体结果也不同（受迫与无受迫）。
进展与责任
我们发布此结果的目标是报告AI模型的实质性进展。我们不打算为此结果申领千禧年奖。
这一里程碑代表了数学家与AI研究者的重大工作。然而，这不是终点，而是AI发展进程中的一个时间快照。
我们相信现在正处于AI进展的新阶段，今日的结果为此提供了进一步证据。我们正专注于理解该模型，并利用所学指导我们如何推进能力进步的步伐。我们的关键目标之一是构建可操控、可问责且与人连接的AI系统，这可能需要在进展速度上做出更审慎的选择，同时继续我们的使命——确保AGI惠及全人类。
¹ 欧拉正则性反证：代理证明无外力欧拉方程可发展出奇点。