OpenAI用AI解决了百万美元千禧年数学难题，引发争议
9月8日周二上午，OpenAI的数学家们宣布，他们指挥的一万名自主AI代理，在一个未公开的高级模型上运行，发现了三维纳维-斯托克斯方程中的一个“奇点”——从而解决了克莱数学研究所2000年提出的六个剩余千禧年大奖难题之一，每个难题奖金100万美元。他们的结果已用编程语言Lean正式验证，这让数学家们确信其正确性。
如果这一结果经得起进一步审查，它将是迄今为止人工智能模型取得的最重要的数学证明，可能标志着数学家处理难题方式的根本转折点。
这一特定难题涉及微分方程，这些方程表达了变化量之间的关系。它们可以说是解释我们周围世界最重要的数学工具。通常，它们易于写出，却难以求解。
纳维-斯托克斯方程是利用牛顿第二运动定律描述流体行为（从洋流到气流）的微分方程。它们最早写于19世纪中叶，此后一直是流体力学研究的核心。但关于这些方程的一个基本问题始终存在：它们的解是否总是表现良好？或者，它们的解是否会随时间演化，使得流体中某个无限小的部分开始以无限速度流动，从而产生所谓的奇点？
OpenAI宣布这一长期寻求的奇点，是在纽约大学的Tristan Buckmaster宣布他与Anthropic的Levent Alpöge在多种AI模型（包括OpenAI的模型）帮助下解决了几个密切相关问题之后12小时。
两个AI团队都大量依赖马德里数学科学研究所的Diego Córdoba和CUNEF大学的Luis Martínez-Zoroa的工作，这两位研究人员开发了一种与大多数数学家使用的方法截然不同的攻击策略。
“我很激动这个问题被解决了，”普林斯顿大学的Charles Fefferman说，他撰写了克莱研究所对纳维-斯托克斯问题的官方描述。他说，故事中的英雄是Córdoba和Martínez-Zoroa。正如Buckmaster在宣布其结果的声明中所写：“让我明确说明我在私下对同事说过的话：鉴于这一系列工作，我相信Luis Martínez-Zoroa值得获得菲尔兹奖。”
一个奇特的发现
纳维-斯托克斯方程依赖于一个假设，即你可以放大流体，考虑无限小的部分。现实世界并非如此：流体最终由分子和原子组成，它们并非完全光滑。这意味着关于奇点形成的数学结果没有直接的实践后果。然而，这些结果很重要，因为即使在理想化意义上，这种奇点的存在也是令人惊讶的。它告诉我们，尽管牛顿第二定律看似简单，但应用于流体时，其后果是深刻反直觉的。换句话说：湍流比它看起来更奇怪。
纳维-斯托克斯方程考虑了流体可能具有黏性或摩擦的事实。（黏性较大的流体，如蜂蜜，流动缓慢，而黏性较小的流体，如水，流动更快。）一组更简单、相关的方程称为欧拉方程，描述零黏性流体，即无摩擦流动。这两组方程密切相关——研究人员经常同时研究两者。但即使引入无限小的摩擦，也会导致流体行为发生深刻变化。
“十年前，没人相信纳维-斯托克斯存在奇点，”Córdoba说——尽管许多人相信欧拉方程确实允许奇点。这种情况在2013年开始改变，当时加州理工学院的Thomas Hou和现任职于香港恒生大学的Guo Luo得出了一项突破性结果，表明如果圆柱体的上下两半以相反方向旋转，欧拉方程可以“爆炸”（数学家喜欢这样说）。“这是第一个真正严肃的奇点主张，”Córdoba回忆道。在接下来的几年里，包括2019年一篇论文在内的一系列结果让数学家们开始思考，不仅欧拉方程可能有奇点，纳维-斯托克斯方程也可能有。
从那时到现在，有几个智力步骤。第一步是边界问题。千禧年奖版本的问题询问在向所有方向无限延伸的三维空间中会发生什么。早期结果，如2013年的圆柱体结果，假设存在某种边界。这些是有用的中间发现，但根据Fefferman的说法，无边界的情况在数学上很有趣，因为在有边界的模型中，发现奇点“告诉你流体可以由于与边界的相互作用而形成奇点——但如果没有边界，那就是流体自己在做疯狂的事情。”
下一步涉及模拟导致流体运动的力。这些力可以是像重力将流体向下拉这样的自然力，也可以是像螺旋桨这样的人为干预。数学家使用一种称为“强迫”的技术来模拟这些力。他们有时会尝试引入笨拙、不优雅的强迫函数来使流体以奇怪的方式行为。但千禧年奖版本的问题询问当强迫函数在数学上表现良好或“光滑”时会发生什么。
在他们2013年的圆柱体结果中，Hou和Luo使用计算机模型模拟了一个可能导致欧拉方程爆炸的场景。然后他们通过计算所有潜在误差证明了爆炸确实发生。此后几年，类似技术成为攻击欧拉和纳维-斯托克斯问题的主要方法。
但在2021年的博士论文中，Martínez-Zoroa开创了完全不依赖计算机的分析技术。这使他与他的博士导师Córdoba一起，成为该领域的异类。到2023年，这对组合证明了具有杂乱强迫函数的欧拉方程版本显示出奇点。
Córdoba喜欢开玩笑：“我不使用AI：我有Luis。”Martínez-Zoroa补充说，并不是他们两人反对AI，而是“直到最近，当我尝试将其用于自己的工作时，它与我的工作流程不太匹配。我显然必须适应。”
大致来说，这对组合的技术依赖于创建无限序列的“层”，每一层都是他们正在研究的方程的非奇点解。（他们将类似技术应用于欧拉和纳维-斯托克斯方程，以及其他相关系统。）然后，他们将这些解组合成Martínez-Zoroa所称的“无限级联”，以产生一个新解。
他们表明，这个新解包含所需的奇点。然而，尽管每一层都依赖于光滑的强迫函数，但将它们组合在一起可能导致强迫函数具有不期望的数学性质。这就是为什么他们的解未能满足千禧年奖标准。剩下的障碍是弄清楚如何创建一个类似的无限级联，不仅产生奇点，还产生光滑的强迫函数。
这正是两个竞争AI团队似乎都取得成功的步骤。
一个激动人心的组合
在Córdoba和Martínez-Zoroa研究他们的技术时，AI衍生的数学研究一直在蓬勃发展。自夏季开始以来，主要来自OpenAI和Anthropic的大型语言模型已被用于在数学的许多领域获得证明。这些结果通常伴随着形式化证明，依赖编程语言Lean以绝对确定性确立一个陈述必须为真。（仍需由人类完成的关键验证是确保在Lean中显示为真的陈述在逻辑上等同于数学家们试图证明的内容。）
在夏季的大部分时间里，这场竞争似乎即使不友好，至少也没有公开的敌意。但在过去24小时内，情况发生了变化。
Buckmaster在9月7日周一午夜前分享了一份声明，宣布他与Alpöge合作的结果。“在过去一年的大部分时间里，进展缓慢，”Buckmaster在声明中说。但到8月22日，他们有了一个Lean验证的欧拉方程证明：“我可以说Levent发给我的第一个LLM生成的证明是我读过的最糟糕的，”Buckmaster写道。
这对搭档原本计划继续撰写更优雅的论文，但在他们的进展泄露给OpenAI后，他们觉得必须提前时间表。Buckmaster感叹他和Alpöge发布的三篇论文之一“只能被描述为AI垃圾。我对此感到抱歉。”
OpenAI承认，他们对纳维-斯托克斯方程的工作受到Alpöge和Buckmaster已解决千禧年奖问题的传闻启发。（他们并未完全解决，尽管他们声称对纳维-斯托克斯的一个稍简单版本有未经验证的爆炸证明。）使用新的内部模型，OpenAI部署了不同规模的自主AI代理组来攻击欧拉和纳维-斯托克斯问题的变体。“近100个代理协同工作约50小时，以产生我们的欧拉正则性反驳，”公司在新闻稿中写道。然后，他们部署了更大的代理组——约一万个——来攻击纳维-斯托克斯。经过88小时，在内部模型上运行的代理有了纳维-斯托克斯奇点的证明，又过了17小时，另一个AI模型将结果形式化。总共，代理们互相发送了近500万条消息。OpenAI的Sébastien Bubeck估计计算成本为数百万美元。
截至本文发稿时，Buckmaster、Alpöge和OpenAI之间互动的细节仍然模糊——对话各方呈现了不同版本。OpenAI承认Buckmaster和Alpöge在三维欧拉结果上的优先权，同时声称纳维-斯托克斯结果的优先权。在Buckmaster的声明中，他似乎暗示OpenAI的研究人员或其AI代理可能获得了（并受益于）他和Alpöge使用OpenAI模型所做的工作。
需要一些时间来理清谁在何时做了什么的时间线，并理解新AI证明的数学意义，即使它们已经过形式化验证。但无论如何，对Córdoba和Martínez-Zoroa的智力贡献似乎是明确的。“我为Tristan感到非常高兴，”Martínez-Zoroa说。“我们自己做到会很好，但我为他感到非常高兴。”