OpenAI模型推翻离散几何核心猜想，实现AI自主数学突破
近80年来，数学家们一直研究一个看似简单的问题：如果将n个点放置在平面上，其中距离恰好为1的点对最多能有多少？这就是平面单位距离问题，由保罗·埃尔德什（Paul Erdős）于1946年首次提出。它是组合几何中最著名的问题之一，容易表述却极难解决。Brass、Moser和Pach合著的2005年著作《离散几何研究问题》将其称为“组合几何中最著名（也最容易解释）的问题”。普林斯顿大学顶尖组合学家Noga Alon则称其为“埃尔德什最钟爱的问题之一”。埃尔德什甚至为此问题设立了现金悬赏。
今天，我们分享单位距离问题的一个突破。自埃尔德什的原创工作以来，主流观点一直认为下文展示的“方格”构造在最大化单位距离对数量方面基本是最优的。一个OpenAI内部模型推翻了这一长期猜想，给出了一个无限族的例子，实现了多项式层的改进。该证明已由一组外部数学家审核验证。他们还撰写了一篇配套论文，阐释论证过程，并就该结果的重要性提供了进一步的背景和语境。
这一结果的发现方式同样值得关注。证明来自一个新的通用推理模型，而非专门为数学训练、通过搜索证明策略搭建结构、或针对单位距离问题特化的系统。作为测试高级模型能否贡献前沿研究的更广泛努力的一部分，我们在一组埃尔德什问题上对其进行了评估。在这个案例中，它生成了一个证明，解决了这一未决问题。
这一证明对数学界和AI界而言都是一个重要里程碑。它标志着AI首次自主解决了一个突出且对数学子领域至关重要的公开问题。它也展示了这些系统现在所支持的推理深度。数学为推理提供了一个特别清晰的测试平台：问题精确，潜在的证明可以验证，而一个长的论证只有在从头到尾逻辑自洽时才成立。解决问题的方法同样引人注目。该证明将代数数论中意想不到的、精妙的思想引入了一个基础几何问题。
菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯（Tim Gowers）在配套论文中称这一结果为“AI数学的一个里程碑”。顶尖数论学家Arul Shankar表示：“在我看来，这篇论文表明当前的AI模型已不仅仅是人类数学家的助手——它们能够提出原创的巧妙想法，并将其付诸实现。”
单位距离问题
记u(n)为平面上n个点中单位距离对的最大可能数量。实现线性增长率的例子很容易构造：将n个点排成一条直线可得到n-1对，而一个方格网格则可得到约2n对。此前最好的构造来自一个经过缩放的方格网格，结果甚至更多：对于常数C，实现了n^{1 + C / log log(n)}的数量。由于log log(n)随着n趋于无穷而趋于无穷，指数中额外项趋于0，意味着这些构造的增长速度仅略快于线性。几十年来，人们普遍认为这个速率基本上是最优的，没有任何构造能显著超越方格网格。用专业术语来说，埃尔德什猜想上界为n^{1+o(1)}，其中o(1)表示一个随着n趋于0的项。
我们的新结果推翻了这一猜想。更精确地说，对于无穷多个n值，该证明构造了n个点的配置，其中至少包含n^{1+δ}个单位距离对，其中δ是某个固定正指数。（最初的AI证明未给出明确的δ值，但普林斯顿数学教授Will Sawin随后提出的改进表明可取δ=0.014。）
该问题的历史有助于解释这一结果为何令人惊讶。自1946年埃尔德什的原始构造以来，已知的最低下界基本没有变化。最佳上界O(n^{4/3})则源自1984年Spencer、Szemerédi和Trotter的工作，尽管后来Székely、Katz和Silier、Pach、Raz和Solymosi以及其他学者进行了改进和相关结构研究，但上界基本保持不变。作为支持该猜想的证据，Matoušek以及Alon-Bucić-Sauermann研究了平面上的非欧几里得距离问题，并证明“大多数”此类非欧几里得距离在某种意义上服从该猜想。
令人惊讶的是，构造的关键要素来自数学中一个截然不同的领域——代数数论，它研究整数域的扩展（即代数数域）中的因式分解等概念。
来自代数数论的新技巧
在高层次上，该证明从一个熟悉的几何想法出发，并将其推向了一个意想不到的方向。
埃尔德什的原始下界可以通过高斯整数理解：形如a+bi的数，其中a和b是整数，i是-1的平方根。高斯整数扩展了普通整数，并且与普通整数一样，拥有唯一的素因子分解等性质。此类普通整数或有理数的扩展被称为代数数域。新的论证用代数数论中更复杂的推广替代了高斯整数，这些推广具有更丰富的对称性，能够产生更多单位长度的差值。
精确的论证使用了诸如无限类域塔（infinite class field towers）和Golod-Shafarevich理论等工具，以证明论证所需的数域确实存在。这些概念对于代数数论学家来说耳熟能详，但它们竟然能对欧几里得平面中的几何问题产生影响，这令人大吃一惊。
这对数学意味着什么
这一结果标志着AI与数学互动的一个重要时刻：一个AI系统自主解决了一个活跃领域中心的长期未决问题。它也提供了一种人类数学家与AI之间新型合作的早期景象。在这种情况下，外部数学家的配套论文所展现的画面比原始解本身要丰富得多。
正如Thomas Bloom在配套笔记中所写：“在评估AI生成的证明的重要性和影响力时，我问自己的一个问题是：它是否教会了我们关于该问题的一些新东西？我们现在是否更好地理解了离散几何？我认为答案是温和的‘是’：这表明数论构造对这些类型问题所能贡献的东西比我们想象的要多得多；而且，所需的数论可能非常深刻。毫无疑问，在未来几个月里，许多代数数论学家将密切关注离散几何中的其他未解决问题。”
该解法揭示的代数数论与离散几何之间意想不到的联系，正是这一结果引人注目的部分原因。它不仅解决了一个特定的猜想，还可能为数学家提供一座桥梁，开始探索更多相关的问题。
Bloom还指出了一个更广阔的可能性：“知识的边界非常参差不齐，毫无疑问，未来数月和数年内，数学的其他许多领域也将出现类似的成功案例——AI通过揭示意想不到的联系、将现有技术工具推向极限，来解决长期存在的未解决问题。AI正在帮助我们更充分地探索我们几个世纪以来建造的数学大教堂；还有什么其他看不见的奇迹正在幕后等待？”
这一结果提供了一个有前景的例子：AI不仅贡献了一个解决方案，还贡献了一个数学发现，其意义通过后续的人类理解而变得更加清晰和丰富。
为何这很重要
其意义远比这一具体结果更大。更好的数学推理能力可以使AI成为更强的研究伙伴：它能够维持复杂的思路，连接跨遥远知识领域的想法，突显专家可能未优先考虑的有前景的路径，并帮助研究人员处理那些原本过于复杂或耗时的难题。
这些能力在数学之外也很重要。如果一个模型能够保持复杂的论证连贯一致，连接跨遥远知识领域的想法，并产出经得起专家审视的工作，那么这些能力在生物学、物理学、材料科学、工程学和医学中也同样有用，并且是我们迈向更自动化研究的长期道路的一部分——这类系统可以帮助科学家和工程师探索更多想法，攻克更难的技术问题。
AI即将在研究中的创造性部分扮演非常严肃的角色，最重要的是在AI研究本身。尽管这一进展并不意外，但它强化了我们理解AI发展下一阶段、对齐高智能系统面临的挑战以及人机协作未来的紧迫感。
那个未来仍然依赖于人类的判断。专业知识的价值变得更高，而非更低。AI可以帮助搜索、建议和验证。而人们选择重要的问题，解释结果，并决定下一步要探索什么问题。